一、拉格朗日中值定理 到底該怎么理解？

先說羅爾定理，羅爾定理的，意義很簡單，就是兩個相同高度的點，一個在左邊，一個在右邊，從左邊的點走到右邊的點有無數條路徑，其中一條特殊的是兩點之間線段最短的走法，

羅爾定理的意義就是在這無數條路中，無論哪一條，走到某一個位置的時候方向必然與上面那條特殊走法的方向相同，這是必然的嘛，無論怎么走，當然大方向不能變。比如大方向朝東，你先向東北，再向東南走到目的地，在從東北轉向東南的時候轉向正東。或者一直往正東走。無論怎么走某一個時刻都是往正東的，這就是所謂的羅爾定理。

而拉格朗日中值定理就是將兩個點的連線傾斜了一點而已。

從函數角度來說，在一段連續的曲線上，必存在一個點，它的切線的斜率等于整段曲線的斜率(首尾兩點相連的線，即割線的斜率)

二、請問太空科幻片里面常說的“拉格朗日（+任意數字）”是什么意思？

一般指的是拉格朗日點吧，也就是天體系統中的引力平衡點。

在任何一個雙天體系統中會存在5個拉格朗日引力平衡點，分別以L1~L5來表示。

以地月系為例。

L1點在地球和月球之間；L2點在月球的背面；L3點在月球繞地球運轉的軌道上但是與月球相差180度，也就是與月球相對的位置；L4和L5也在月球軌道上，但分別在月球之前和之后60度。

拉格朗日定理存在于多個學科領域中，分別為：流體力學中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

好像是一種函數定理！

被知道

三、高等數學利用拉格朗日證明不等式的問題

你好！

你理解的非常正確，那個點（或者可能有不止一個）是依存與函數f和區間[a,b]而客觀存在的，如果直接人為指定那個點的值，那是絕對錯誤的！

但是我們仍然可以運用拉格朗日中值定理來證明不等式，原因并不在于我們可以指定任意一點c的值，而是在于我們可以找出f'(c)的范圍，因為c是在區間(a,b)上的，所以這個范圍有可能能被找到。找到了f'(c)的范圍，從而也就找出(f(x)-f(a))/(x-a)的范圍，最后找出f(x)的范圍，從而證明不等式。

就以你的最后那個題目為例說明如何運用f'(c)的范圍找f(x)的范圍：

首先，設f(x)=ln(x+1),根據對數函數的可導性，我們有：對于任意的正數x，函數f在[0,x]上連續，（0，x）上可導，從而滿足拉格朗日中值定理的前提條件。

所以在(0,x)上存在一點c使得：(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c)，也就是：

f(x)=xf'(c)

然后，根據我上面提到的，我們可以確定f'(c)的范圍：

因為f'(x)=1/(x+1)，所以f'(c)=1/(1+c)并且0<c<x，根據“分母越大，分數值越小”原理，我們很容易發現當c為0時，f'(c)最大，當c為x時，f'(c)最小，也就是說，f'(c)的范圍是：

1/(1+x) < f'(c) < 1

帶入上式“ f(x)=xf'(c) ”

就有

x/(1+x) < f(x) < x

證畢。

回顧上例，我們的c并不是人為指定的，但是我們知道f'(c)的范圍，f'(c)的范圍即為拉格朗日中值定理等式左邊那項的范圍，f的范圍也就隨之而定了。

構建兩個函數，反證法證明。

拉格朗日定理：設f在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，則存在一點

c屬于(a,b)，使得f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)

既然定理說存在這么一點，我們就可以直接拿來用，至于到底有幾個可不管。

對于這個不等式的證明，要用拉格朗日來證明它，先可以取f(x)=ln(1+x)

f在[0,x]滿足連續，在(0,x)上可導。

則由拉格朗日定理知，存在c屬于開區間(0,x)，使得f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)

即ln(1+x)=x/(1+c) ,0<c<x

而x/(1+x)<x/(1+c)<x

所以x/(1+x)<ln(1+x)<x (x>0)

f(x)=In(x),g(x)=x

存在&滿足x<&<x+1，使[f(x+1)-f(x)]/[g(x+1)-g(x)]=f'(&)/g'(&)，這步能理解吧。

而f'(&)/g'(&)=1/&,由x<&<x+1，1/(x+1)<1/&<1/x

回代，得證。。關于定理的理解，

（這一點應該是客觀存在的，而且有多少還不一定能夠知道，老師卻是人為指定那一點的值讓不等式得證，這不是矛盾了嗎？）

不是人為制定那一點，是從滿足條件的點中任意取一點，都能使不等式得證的，不矛盾。

拉格朗日的定理跟證明不等式的核心思想是將不等式轉化為一個有范圍的不確定的值，利用這個值的范圍進行縮放，證明不等式

如果不明白，百度Hi我吧，1個小時之內有時間給你解答

6:3≠7:2

≠

四、有沒有大神能通俗的講一下拉格朗日中值定理

用現實的例子就是：

意思就是如果你從A走到B，平均速度是v。

那么你在走的這個過程中一定有一個時刻的瞬時速度是v。

理由是：你肯定是有時候走的比v快 有時候比v慢，速度是不能突變的，在速度變化的過程中就至少有一個時刻是v。

連續可導的函數 y = f(x) 曲線上取不同兩點 A( a, f(a) ), B( b, f(b) ), (a < b),

總存在一點 x = ξ (a < ξ < b)， 在點 C( ξ, f(ξ) ) 處曲線的切線斜率等于割線 AB 的斜率。