一、拉格朗日中值定理 到底該怎么理解？

先說(shuō)羅爾定理，羅爾定理的，意義很簡(jiǎn)單，就是兩個(gè)相同高度的點(diǎn)，一個(gè)在左邊，一個(gè)在右邊，從左邊的點(diǎn)走到右邊的點(diǎn)有無(wú)數(shù)條路徑，其中一條特殊的是兩點(diǎn)之間線段最短的走法，

羅爾定理的意義就是在這無(wú)數(shù)條路中，無(wú)論哪一條，走到某一個(gè)位置的時(shí)候方向必然與上面那條特殊走法的方向相同，這是必然的嘛，無(wú)論怎么走，當(dāng)然大方向不能變。比如大方向朝東，你先向東北，再向東南走到目的地，在從東北轉(zhuǎn)向東南的時(shí)候轉(zhuǎn)向正東。或者一直往正東走。無(wú)論怎么走某一個(gè)時(shí)刻都是往正東的，這就是所謂的羅爾定理。

而拉格朗日中值定理就是將兩個(gè)點(diǎn)的連線傾斜了一點(diǎn)而已。

從函數(shù)角度來(lái)說(shuō)，在一段連續(xù)的曲線上，必存在一個(gè)點(diǎn)，它的切線的斜率等于整段曲線的斜率(首尾兩點(diǎn)相連的線，即割線的斜率)

二、請(qǐng)問(wèn)太空科幻片里面常說(shuō)的“拉格朗日（+任意數(shù)字）”是什么意思？

一般指的是拉格朗日點(diǎn)吧，也就是天體系統(tǒng)中的引力平衡點(diǎn)。

在任何一個(gè)雙天體系統(tǒng)中會(huì)存在5個(gè)拉格朗日引力平衡點(diǎn)，分別以L1~L5來(lái)表示。

以地月系為例。

L1點(diǎn)在地球和月球之間；L2點(diǎn)在月球的背面；L3點(diǎn)在月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道上但是與月球相差180度，也就是與月球相對(duì)的位置；L4和L5也在月球軌道上，但分別在月球之前和之后60度。

拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：流體力學(xué)中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數(shù)論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

好像是一種函數(shù)定理！

被知道

三、高等數(shù)學(xué)利用拉格朗日證明不等式的問(wèn)題

你好！

你理解的非常正確，那個(gè)點(diǎn)（或者可能有不止一個(gè)）是依存與函數(shù)f和區(qū)間[a,b]而客觀存在的，如果直接人為指定那個(gè)點(diǎn)的值，那是絕對(duì)錯(cuò)誤的！

但是我們?nèi)匀豢梢赃\(yùn)用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式，原因并不在于我們可以指定任意一點(diǎn)c的值，而是在于我們可以找出f'(c)的范圍，因?yàn)閏是在區(qū)間(a,b)上的，所以這個(gè)范圍有可能能被找到。找到了f'(c)的范圍，從而也就找出(f(x)-f(a))/(x-a)的范圍，最后找出f(x)的范圍，從而證明不等式。

就以你的最后那個(gè)題目為例說(shuō)明如何運(yùn)用f'(c)的范圍找f(x)的范圍：

首先，設(shè)f(x)=ln(x+1),根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的可導(dǎo)性，我們有：對(duì)于任意的正數(shù)x，函數(shù)f在[0,x]上連續(xù)，（0，x）上可導(dǎo)，從而滿足拉格朗日中值定理的前提條件。

所以在(0,x)上存在一點(diǎn)c使得：(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(c)，也就是：

f(x)=xf'(c)

然后，根據(jù)我上面提到的，我們可以確定f'(c)的范圍：

因?yàn)閒'(x)=1/(x+1)，所以f'(c)=1/(1+c)并且0<c<x，根據(jù)“分母越大，分?jǐn)?shù)值越小”原理，我們很容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)c為0時(shí)，f'(c)最大，當(dāng)c為x時(shí)，f'(c)最小，也就是說(shuō)，f'(c)的范圍是：

1/(1+x) < f'(c) < 1

帶入上式“ f(x)=xf'(c) ”

就有

x/(1+x) < f(x) < x

證畢。

回顧上例，我們的c并不是人為指定的，但是我們知道f'(c)的范圍，f'(c)的范圍即為拉格朗日中值定理等式左邊那項(xiàng)的范圍，f的范圍也就隨之而定了。

構(gòu)建兩個(gè)函數(shù)，反證法證明。

拉格朗日定理：設(shè)f在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在一點(diǎn)

c屬于(a,b)，使得f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)

既然定理說(shuō)存在這么一點(diǎn)，我們就可以直接拿來(lái)用，至于到底有幾個(gè)可不管。

對(duì)于這個(gè)不等式的證明，要用拉格朗日來(lái)證明它，先可以取f(x)=ln(1+x)

f在[0,x]滿足連續(xù)，在(0,x)上可導(dǎo)。

則由拉格朗日定理知，存在c屬于開(kāi)區(qū)間(0,x)，使得f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)

即ln(1+x)=x/(1+c) ,0<c<x

而x/(1+x)<x/(1+c)<x

所以x/(1+x)<ln(1+x)<x (x>0)

f(x)=In(x),g(x)=x

存在&滿足x<&<x+1，使[f(x+1)-f(x)]/[g(x+1)-g(x)]=f'(&)/g'(&)，這步能理解吧。

而f'(&)/g'(&)=1/&,由x<&<x+1，1/(x+1)<1/&<1/x

回代，得證。。關(guān)于定理的理解，

（這一點(diǎn)應(yīng)該是客觀存在的，而且有多少還不一定能夠知道，老師卻是人為指定那一點(diǎn)的值讓不等式得證，這不是矛盾了嗎？）

不是人為制定那一點(diǎn)，是從滿足條件的點(diǎn)中任意取一點(diǎn)，都能使不等式得證的，不矛盾。

拉格朗日的定理跟證明不等式的核心思想是將不等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)有范圍的不確定的值，利用這個(gè)值的范圍進(jìn)行縮放，證明不等式

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6:3≠7:2

≠

四、有沒(méi)有大神能通俗的講一下拉格朗日中值定理

用現(xiàn)實(shí)的例子就是：

意思就是如果你從A走到B，平均速度是v。

那么你在走的這個(gè)過(guò)程中一定有一個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度是v。

理由是：你肯定是有時(shí)候走的比v快 有時(shí)候比v慢，速度是不能突變的，在速度變化的過(guò)程中就至少有一個(gè)時(shí)刻是v。

連續(xù)可導(dǎo)的函數(shù) y = f(x) 曲線上取不同兩點(diǎn) A( a, f(a) ), B( b, f(b) ), (a < b),

總存在一點(diǎn) x = ξ (a < ξ < b)， 在點(diǎn) C( ξ, f(ξ) ) 處曲線的切線斜率等于割線 AB 的斜率。