一、高數求解。謝謝。

拉格朗日乘數法學了沒？

此題就可以用拉格朗日乘數法對最優化問題解決。

u=lnx+2lny+3lnz=ln(xy^2z^3).求它的最值就是求xy^2z^3的最值。而且x,y,z>0.

設L(x,y,z,λ)=xy^2z^3+λ(x^2+y^2+z^2-R^2)(你題沒寫全，我就當球的半徑是R吧)

?L/?x=y^2z^3+2λx,?L/?y=2xyz^3+2λy,?L/?z=3xy^2z^2+2λz,?L/?λ=x^2+y^2+z^2-R^2.

令其全部為0

y^2z^3=-2λx,2xz^3=-2λ;3xy^2z=-2λ;x^2+y^2+z^2-R^2=0

得到3y^2=2z^2,2x^2=y^2.可以帶入后面的式子，得到3y^2=R^2

z^2=R^2/2,x^2=R^2/6.x=√6R/6，y^2=R^2/3，z^3=√2R^3/4.

所以u=3ln(√3R/6).

呵呵，都是直接邊打邊算的。方法就是拉格朗日乘數法，所有高數書上都有的

二、講一下拉格朗日中值定理.并配上例題

如果函數f(x)在(a，b)上可導，[a,b]上連續，則必有一ξ∈(a,b)，使得

f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)

三、高數解答題

答： 設點M(x,y,z)在曲線上，則點M到xOy面距離為:z 令L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5) 令 Lx=2λx+μ=0； Ly=2λy+μ=0; Lz=1-4λz+3μ=0; Lλ=x^2+y^2-2z^2=0; Lμ=x+y+3z-5=0 解得：x=1,y=1,z=1,λ=1/10,μ=-1/5 或x=-5,y=-5,z=5,λ=-1/10,μ=-1 所以當M為(1,1,1)時，有最小距離z=1; 所以當M為(-5,-5,5)時，有最大距離z=5 這是《高等數學》中“多元函數微分法及其應用”一章的內容，本題涉及的是“多元函數的極值及其求法”知識。 上述方法稱為拉格朗日乘數法,L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中L(x,y)稱為拉格朗日函數，λ是拉格朗日因子。 拉格朗日乘數法結論如下：要找函數m=f(x,y)在附加條件g(x,y)=0下可能的極值點，作拉格朗日函數：L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y)，其中λ是參數，然后求所有變量即x，y，λ的一階偏導數并使之為0，聯立解出來，(x,y)就是f(x,y)在附加條件g(x,y)=0下可能的極值點。代入f(x,y)得極值。 本題為例：目標函數就是點M到面xOy的距離，顯然就是M的豎坐標z.而x^2+y^2-2z^2=0和x+y+3z=5就是附加條件。 練習多了就熟了，做做這個例題： 求函數u=xyz在附加條件1/x+1/y+1/z=1/a (x,y,z,a>0)下的極值。 (答案：x=y=z=3a時，有極值27a^3) 有什么不懂的請再問。