1. 拉格朗日對偶函數弱對偶性證明

一．線性插值(一次插值） 已知函數f(x)在區間[xk ,xk+1 ]的端點上的函數值yk =f(xk ), yk+1 = f(xk+1 ),求一個一次函數y=P1 (x)使得yk =f(xk ),yk+1 =f(xk+1 ), 其幾何意義是已知平面上兩點(xk ,yk ),(xk+1 ,yk+1 ),求一條直線過該已知兩點。

首先,插值法是：利用函數f (x)在某區間中插入若干點的函數值,作出適當的特定函數,在這些點上取已知值,在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f (x)的近似值,這種方法稱為插值法.

其目的便就是估算出其他點上的函數值.

而拉格朗日插值法就是一種插值法.

2. 驗證拉格朗日中定理對函數的正確性

由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質量力有勢的情況下，如果初始時刻某部分流體內無渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時刻該部分流體有渦，則在此之前或以后的任何時刻中這部分流體皆為有渦。

3. 拉格朗日判斷函數單調性

拉格朗日法是描述流體運動的兩種方法之一，又稱隨體法，跟蹤法。

是研究流體各個質點的運動參數（位置坐標、速度、加速度等）隨時間的變化規律。綜合所有流體質點運動參數的變化，便得到了整個流體的運動規律。

在研究波動問題時，常用拉格朗日法

4. 證明拉格朗日基函數線性無關

約瑟夫·拉格朗日

外文名

Joseph-Louis Lagrange

別名

拉格朗日

性別

男

出生日期

1736年

去世日期

1813年4月10日

國籍

法國

出生地

意大利都靈

職業

數學家

物理學家

代表作品

《關于解數值方程》和《關于方程的代數解法的研究》

主要成就

拉格朗日中值定理等

數學分析的開拓者

5. 拉格朗日函數的對偶函數

當求某個函數的最值，且改函數中的變量有約束時則使用拉格朗日函數

6. 拉格朗日中值定理證明函數單調性

要證明函數在某個區間上 是增函數 ，先求這個函數的導數 ，來證明導數在這個區間上大于或等于零 。

要證明函數在某個區間上是減函數 ，就要證明這個函數的導數在這個區間上小于或等于零 。

7. 拉格朗日函數對偶問題

根據對偶理論，對偶問題與原問題是互為對偶問題的，且對偶問題的目標函數恰好等于原問題最有目標函數，并且可以證明這一目標函數值也是最優的，反過來同樣成立，假設對偶問題的最優解不唯一，那么其對偶問題（也就是原問題）的最優解也不唯一，這與原問題有唯一解矛盾。

因為原問題與對偶問題是相互對偶的，所以他們有一定的對應關系。在有限最優解的方面：原問題有有限最優解只能保證對偶問題有有有限最優解。原問題松弛變量的檢驗數的相反數就是對偶問題的最優解。

對偶理論(Duality theory)研究線性規劃中原始問題與對偶問題之間關系的論。發展簡在線性規劃早期發展中最重要的發現是對偶問題，即每一個線性規劃問題(稱為原始問題)有一個與它對應的對偶線性規劃問題（稱為對偶問題）。

8. 證明偶函數的單調性

函數的奇偶性與函數的單調性有聯系。

關系是奇函數在對稱的定義區間上函數的單調性一致

偶函數在對稱的定義區間上函數的單調性相反。

奇偶函數在對稱區間內單調性有以下關系

奇函數單調性相同

偶函數單調性相反

就是奇函數增函數就是增函數

偶函數就是增函數就是減函數。

9. 拉格朗日對偶問題一定是凸優化

[拉格朗日(Lagrange)中值定理]若函數f(x)滿足條件：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導，則在(a,b)內至少存在一點ξ，使得

顯然，羅爾定理是拉格朗日中值定理當f(a)=f(b)時的特殊情形，拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣。

10. 請寫出支持向量機的拉格朗日對偶優化問題的代價函數

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關系。

11. 拉格朗日函數的對偶性

在分析力學里，一個動力系統的 拉格朗日函數，是描述整個物理系統的動力狀態的函數，對于一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能，以方程表示為

拉格朗日函數

拉格朗日函數

拉格朗日函數

拉格朗日函數

其中， 為拉格朗日量， 為動能， 為勢能。

在分析力學里，假設已知一個系統的拉格朗日函數，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程，稍加運算，即可求得此系統的運動方程。