詩人西爾維婭?普拉斯曾寫道:“第一天上物理課簡直像下地獄。”她繼續說：

一個名叫曼茲先生的黑矮男人，扯著高亢而渾濁的嗓音，身著緊身藍色西裝站在教室前，手中正拿著一個小木球。他把球放在一個有溝槽的斜坡上，讓它一直滾到底。之后他開始講，設加速度為a，時間為t，而突然間，他就開始在黑板上洋洋灑灑地寫滿了字母、數字和等號，于是我的大腦就這樣熄火了。

至少在這段重述普拉斯生平的半自傳性文字中有寫到，曼茲先生曾寫過一本400多頁的書，其中沒有圖畫和照片，只有圖表和公式。

這就如同，你試著去欣賞普拉斯的詩，但不是靠自己讀，而是聽旁人講。在普拉斯的故事版本中，她是唯一在這門課上拿了A等成績的學生，但物理還是給她留下了恐懼感。

畢竟，數學是理性的詩歌，而詩是心靈的數學。 ---戴維?尤金?史密斯（美國數學家和教育家）

物理學家理查德?費曼的物理導論課則完全不同。諾貝爾獎得主費曼是個熱情洋溢的人，平時打邦哥小鼓引以為樂，說起話來的樣子更像個務實的出租車司機，而不像什么尖頭尖腦的知識分子。

在費曼11歲時，一次不經意的對話對他產生了天翻地覆的影響。他告訴朋友，思考不過是內心的自言自語。

“是這樣嗎？”費曼的朋友說,“你知道汽車曲軸的形狀極其復雜吧？”

“對，知道又怎樣？”

“不錯。現在告訴我，你在自言自語的時候，是怎么描述這形狀的？”

正是這么一問，費曼認識到，思想能表現為語言就能表現為形象。

后來他寫道，還是學生的他，曾努力想象一些概念并對進行形象化，比如電磁波，它是肉眼看不見的能量流，從陽光到手機信號都由它來承載。可他難以用語言描述心中所見。如果連世界上最了不起的科學家之一都想象不出該如何看待一些（公認的難以想象的）物理學概念，那我們普通人該怎么辦呢？

我們可以在詩歌的國度找到鼓舞和靈感。讓我們來看幾句歌詞，這幾句來自美國歌手兼詞作家喬納森?庫爾頓寫的一首歌，叫作“曼德博集”，歌曲內容有關一位著名數學家---貝努瓦?曼德爾布羅特。

天堂的曼德爾布羅特啊。

他讓我們在混沌中看見希望

他的幾何學在別人跌倒的地方獲得了成功

所以，如果你迷失了方向，會有一只蝴蝶拍打翅膀

遠在百萬公里之外，一個小奇跡將送你歸鄉

在庫爾頓動人的詞句中，他捕捉到了曼德爾布羅特杰出的數學精髓，由此我們能在腦中形成圖像---只見蝴蝶的翅膀輕柔一振，傳播開來，甚至會在百萬公里以外的地方造成影響。

曼德爾布羅特創造的新式幾何讓我們懂得，那些有時看起來粗糙混亂的事物，比如云和海岸線，卻在一定程度上存在規律。視覺的復雜性可以由簡單規則創造出來，正如現代動畫電影制作中的神奇手段。庫爾頓的詩歌也影射出了曼德爾布羅特成就中蘊含的概念---宇宙某部分細小、微妙的變化，最終會對其他一切產生影響。

你越去看庫爾頓的歌詞，便越會發現這概念能在生活各個方面得到更多應用---你對曼德爾布羅特的成果理解得越深刻，這些意義便越發明晰。

正如詩歌、方程中也存在隱藏的含義。如果正在看物理方程式的你是個新手，而且也未曾有人教過你怎么去看懂符號下鮮活的內涵，那么這些方程表達式對于你而言就是一片死寂。只有當你開始學習，并將隱藏內容賦予方程表達式，它的內涵才開始跳躍、流動，最后如同獲得生命一般呈現于你。

在一篇經典論文中，物理學家杰弗里?普倫蒂斯比較了物理學新手和成熟的物理學家在看待方程時的差異。新手看方程，不過就是在記憶中互不相關的海量方程中添加一個記憶內容。然而，層次更高的學生和物理學家，能在心中看見方程背后的意義，能看見它是怎樣被置于宏觀背景之下的，甚至會對方程的一部分感同身受。數學家要有些詩人氣質，才算得上名副其實。

? ? ? ? ---卡爾?魏爾斯特拉斯（德國教育學家）

當你把字母a看作加速度，你也許會有車里踩油門的感覺。轟的一聲！你感受到了加速的推背感。

可每當你看到字母a都需要喚起這種感覺嗎？當然不必，你可不想喚起學習中的每一個小細節，否則自己會瘋掉的。但是，如果你看到方程中遍布a的身影并在努力分析它的含義，那么那種推背感應盤旋在你的大腦后臺，就像一個時刻準備溜進工作記憶的組塊。

同樣，當你把n看作質量，你也許會感受到一塊50磅巨石慵懶的慣性，要搬動它可是個大工程。當你把F看作力，借心靈之眼你也許會看到力背后的秘密，正如方程F=ma所示，力的大小取決于質量和加速度：ma。也許你能體會到F背后的奧妙。力把一種舉升的氣勢（加速度），作用在巨石慵懶的質量上。

讓我們再來點錦上添花。物理術語做功意味著能量。當我們推動（把力作用在）一件東西，讓它通過一段距離，我們就做了如詩般簡潔：W=Fd。一旦我們看見W代表做功，那么我們便可通過心靈之眼，甚至通過身體感受，去想象這背后的含義。最終，我們提取出了一行方程之詩，就像下面這樣

? ? ? ? ? ? W

? ? ? ? ? ? W=Fd

? ? ? ? ? ? W=(ma)d

換句話說，符號和方程背后都存在隱藏信息---一旦人對概念更熟悉，它們的含義就會更清晰。盡管科學家不這么表述，但他們會經常將方程看作一種詩歌形式，以此可以迅速用符號記下他們正嘗試去看清和理解的事。善于觀察者能認識到一首詩的深度，詩中會有許多可能含義。同樣，在學識上不斷成熟的學生，借心靈之眼也能漸漸學會看清方程背后的隱藏含義，甚至憑直覺形成不同解讀。并不意外，圖、表格或其他圖像也具有隱藏含義---在心靈之眼中，它們所呈現的內涵甚至比紙上的內容更豐富。

此前我們提到這點，既然我們對如何想象方程背后的概念已有了更深的領悟，那現在它值得我們來重視審視。努力學習數學和科學的時候，我們能做的最重要的一件事，就是給腦中的抽象概念賦予生命。

例如，圣地亞哥?拉蒙-卡哈爾對待眼前微觀場景，就像在看待一群居住在其中的小生命，它們有希望和夢想，就像人類自己。爵士查爾斯?謝林頓，是卡哈爾的同事和朋友，同時他也是突觸一詞的創造者，他告訴朋友，他從來沒見過有哪位科學家能像卡哈爾一樣讓自己的工作充滿生命力。謝林頓猜想這也許是促進卡哈爾達到他成功高度的一個關鍵因素。

愛因斯坦的相對論并非源自他的數學才能(他經常需要與數學家合作來取得進展），而是源自他“假裝”的能力。他想象自己是一個以光速移動的光子，然后想象第二個光子會怎樣看他。第二個光子會看到并感受到什么呢？

芭芭拉?麥克林托克因發現基因換位（“跳躍基因“會改變自己在DNA鏈上的位置”）的存在而獲得諾貝爾獎，她曾寫過自己如何對其研究的玉米植株進行想象：“我甚至能看到染色體的內部成分--實際上一切就在那里。因為我幾乎感覺自己就像置身其中，而染色體是我的朋友，這感覺讓我驚奇。”

或許在心靈之眼的注視下，把正在研究的這些元素和生物機制想象成活物，還讓它們有了自己的感覺和思想，會顯得有些愚蠢。但是這個方法很奏效，它讓研究對象鮮活起來，還能幫你看清并理解一些現象，而僅僅看枯燥數字和公式是無法靠直覺感受這些現象的。

簡化也很重要。為了方便自己理解，理查德?費曼，本章前部分說到的那位打邦哥鼓的物理學家，他要求科學家和數學家簡單闡釋他們的概念，他這個做法是出了名的。出人意料的是，無論概念多么復雜，幾乎任何一個概念都可以得到簡要解釋。為了醞釀簡單解釋，你把復雜材料分解成幾個關鍵要素，結果你對材料的理解更加深刻了。學習專家斯科特?揚發展了這個理念，也稱之為費曼法，這個方法要求人們找到簡單的比喻類或類比來幫助他們理解概念要旨。

傳奇人物查爾斯?達爾文的做法也跟這個差不多。在他試著對一個概念做出解釋時，會想象有個人剛剛走進自己的書房。他會放下筆，努力用最簡單的語言來解釋它。這讓他知道了如何將概念用文字描述出來。類似地，網站Reddit.com有一個叫作“像5歲孩子一樣做解釋”的板塊，在那里任何人可以發帖尋求復雜主題的簡單解答。

你可能會覺得，需要先理解才能給出解釋。但是注意，當你和身邊人談論學習時發生了什么。在試圖對他人和自己做出解釋時，你常會驚奇地發現，理解常常是解釋的產物，而非先有理解才有解釋。這就是為什么老師常說，他們第一次真正理解教學材料，是在自己去教學生的時候。

認識你很高興！

學習有機化學的難度和去認識一些新人物比起來沒什么兩樣。每一個元素都有自己獨特的個性。你越了解它們的性格，就越能讀懂它們的處境，并能預知它們在相互作用中會產生的結果。

? ? ? ? ? ? ? ? ---凱瑟琳?諾爾塔（哲學博士，化學高級講師和金蘋果獎得主，該獎項授予密歇根大學公認優秀教員）

該你試試了！

? ? ? ? ? ? ? ? ? 腦中的自導自演

想象自己置身于研究內容之中---你正從細胞中電子的視角，或甚至從一個數學概念的角度在看世界。試著和你的新朋友表演一出戲，想象它們會有怎樣的感受和反應。

遷移是把所學知識從一個知識背景應用到別處的能力。比如，或許你學了一門外語之后，發現學第二門外語就比學第一門外語要輕松了。那是因為當你學過第一門外語，你獲得了基本的語言學習技巧，同時你也潛在地學會了相似的新單詞和語法結構，它們便遷移到了你的第二門外語學習中。

學習數學但只把它應用在一個特定學科，比如會計、工程或經濟學，這就有點像決意不再認真學另一門外語---只堅守著一種語言就行，只需額處再多學幾個英語單詞就行。許多數學家覺得，完全針對特定學科去學數學的方法，會讓你更難以靈活且創造性地運用數學。

他們覺得如果你按他們教的方式學數學，即圍繞著抽象且形成了組塊的概念精髓，而腦中沒有特定應用范疇，你就能獲得輕松將知識遷移到各種應用的技能。也可以說，獲得這樣的技能，就如同語言學習中獲得了語言的基本學習技巧一樣。比如，你也許是一個物理系學生，但你能通過運用你的抽象數學知識，迅速領悟如何將數學運用到其他極不相同的領域，比如應用到生物、金融，或者甚至是心理學過程中去。

這也是數學家喜歡從抽象角度教數學的部分原因，因為這樣不必立刻把視野縮小到具體的應用上去。他們想讓你看到概念的精髓，考慮到這樣會更容易把概念遷移到多種問題上去。如果用語言學做類比，就像是他們并不希望你只學會如何用特定語言說“我跑”這個短語，不管是阿爾巴尼亞語、立陶宛語還是冰島語，而是期望你能理解更基本的概念，比如有一類詞匯叫動詞，它們需要變位。

這其中的困境在于，如果你把概念直接應用到具體問題，往往會更易于掌握一種數學思想，即使這么做之后再要把概念遷移到新領域會有更大難度。不出所料，我們最終會看到，對于具體和抽象的數學學習法總是急論不斷。于是數學家退后一步，試圖把握高地，以確保學習過程圍繞著抽象方法進行。相反，工程、商科等許多其他專業則自然偏向專門應用于特定領域的數學，并以此來提高學生的參與感，同時也避免學生抱怨“我什么時候才能用到這個。”具體的應用數學也被這個問題困擾，數學教材中許多“現實世界”的問答題都只不過是做了單薄偽裝就搬上書本給學生練習。最終我們看到，具體和抽象的方法各有利弊。

遷移的好處在于，隨著一門學科內容難度的增進，遷移往往能讓學生學得輕松一些。正如匹茲堡大學教授杰森?德尚說：“我總告訴我的學生，隨著他們護理項目的進展，要學的東西會越來越少，可他們不相信我的話。實際上，他們每個學期都越學越多，他們只是更善于將所學知識整合到一起。”

拖延問題最嚴重的方面之一，就是不停打斷自己注意力去查看手機短信、電子郵件或其他更新，這會干擾遷移的進行。時常中斷手中工作不僅會讓學生無法深入學習，也讓他們無法將所學的那一點知識輕松遷移到別的問題上。你可能認為，自己查看短信時，并沒放下學習，但現實情況是，你的大腦因為沒有足夠的專注時間而無法形成固化神經組塊，但這些組塊才是概念遷移到其他區域的核心。

概念遷移，效果不錯

? 我在五大湖學會了釣魚技巧，去年就到佛羅里達礁群去小試牛刀。完全不同的魚類，完全不同的魚餌，還用了從沒用過的釣法，但是效果不錯。人們覺得我病得不輕，但有趣的是我讓他們看到這樣確實能抓到魚。

? ? ? ---帕特里克?司克金（歷史專業大四學生）

本章小結

方程只是抽象和簡化概念的方法。這說明，方程包含的深層含義，與詩歌中的深層內涵有相似之外。

你的“心靈之眼”之所以重要，是因為它幫你在腦中排演，并把學過的知識擬人化。

遷移是把所學知識從一個知識背景應用到別處的能力。

關鍵是要掌握一個數學概念的組塊精髓，這會有利于概念遷移和將之應用到新途徑中。

在學習過程中一心多用讓學習無法深入，這樣會限制你遷移所學知識的能力。

駐足與回顧

合上書，轉移視線，想想本章有哪些要點？你能在心中用符號描繪出這些概念嗎？

學習提升

1. 寫一首方程之詩，用幾句話展現一個標準方程背后的內涵。

2. 寫寫如何對你在學的一些概念進行自導自演。你認為這場戲里的各位角色會有哪些現實感受，又會發生怎樣的互動？

3. 拿出一個你學過的數學概念，看看這個概念是怎樣應用到具體實例中的。退回步看看這個應用實例，你是否可以體會到其背后存在的抽象概念組塊。你能想出一個完全不同的方式去運用那個概念嗎？

我是挹洗俏月，祝您晚安……